Persamaan Diophantine oleh Diophantus seorang ahli Matematika dari Alexandria

        Diophantus (~201-~285)

Salam Para Bintang...

Kali ini kita, coba berdiskusi tentang persamaan Diophantus atau dikenal persamaan Diaphontine. Sebelumya kita harus kenal dengan Diophantus seorang ahli Matematika dari Alexandria (Yunani Kuno: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; lahir mungkin antara tahun 201 dan 215 M; meninggal sekitar 84 tahun, mungkin sekitar tahun 285 dan 299 M) adalah seorang ahli matematika Hellenistik Aleksandria, yang merupakan penulis dari serangkaian buku yang disebut Arithmetica, banyak yang sekarang hilang. Kadang-kadang disebut "bapak aljabar", teksnya berurusan dengan memecahkan persamaan aljabar.

Ketika membaca karya Claude Gaspard Bachet de Méziriac tentang Diophantus 'Arithmetica, Pierre de Fermat menyimpulkan bahwa persamaan tertentu yang dianggap oleh Diophantus tidak memiliki solusi, dan dicatat dalam margin tanpa elaborasi bahwa ia telah menemukan "bukti yang benar-benar luar biasa dari proposisi ini," sekarang disebut sebagai Teorema Terakhir Fermat. Hal ini menyebabkan kemajuan luar biasa dalam teori bilangan, dan studi persamaan Diophantine("Diophantine geometry") dan pendekatan Diophantine tetap menjadi bidang penting dalam penelitian matematika. Diophantus menciptakan istilah παρισότης (parisotes) untuk merujuk pada persamaan perkiraan. Istilah ini diterjemahkan sebagai adaequalitas dalam bahasa Latin, dan menjadi teknik adequality yang dikembangkan oleh Pierre de Fermat untuk menemukan maxima untuk fungsi dan garis singgung ke kurva. 

Diophantus adalah ahli matematika Yunani pertama yang mengenali pecahan sebagai angka; jadi dia membiarkan bilangan rasional positif untuk koefisien dan solusi. Dalam penggunaan modern, persamaan Diophantine biasanya persamaan aljabar dengan koefisien integer, yang dicari solusi integer.

Sebagian besar pengetahuan kita tentang kehidupan Diophantus berasal dari antologi Yunani abad ke-5 tentang sejumlah permainan dan teka-teki yang dibuat oleh Metrodorus. Salah satu masalah (kadang-kadang disebut tulisan di batu nisannya) menyatakan:

    "Di sinilah Diophantus," lihatlah keajaiban.
    Melalui seni aljabar, batu menceritakan berapa usia:
    'Tuhan memberinya masa kanak-kanaknya seperenam dari hidupnya,
    Seperduabelas lebih muda saat kumis tumbuh;
    Dan kemudian, ketujuh perkawinan telah dimulai;
    Dalam lima tahun datanglah seorang putra baru yang memantul.
    Sayangnya, anak terkasih dari tuan dan orang bijak
    Setelah mencapai setengah dari takdir kehidupan ayahnya, nasib membawanya. Setelah menghibur nasibnya dengan ilmu angka selama empat tahun, ia mengakhiri hidupnya. '

Teka-teki ini menyiratkan bahwa usia x Diophantus dapat dinyatakan sebagai

    x = x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5 + x / 2 + 4

yang memberi nilai x adalah 84 tahun. Namun, keakuratan informasi tidak dapat dikonfirmasi secara independen.

Dalam budaya populer, teka-teki ini adalah Puzzle No.142 di Profesor Layton dan Pandora's Box sebagai salah satu teka-teki pemecahan paling sulit dalam permainan, yang perlu dibuka dengan memecahkan teka-teki lain terlebih dahulu.

Arithmetica adalah karya utama Diophantus dan karya paling menonjol tentang aljabar dalam matematika Yunani. Ini adalah kumpulan masalah yang memberikan solusi numerik dari persamaan determinasi dan tak tentu. Dari tiga belas buku asli yang terdiri dari Arithmetica hanya enam yang selamat, meskipun ada beberapa yang percaya bahwa empat buku Arab yang ditemukan pada tahun 1968 juga oleh Diophantus. Beberapa masalah Diophantine dari Arithmetica telah ditemukan dalam sumber-sumber berbahasa Arab.

Harus disebutkan di sini bahwa Diophantus tidak pernah menggunakan metode umum dalam solusinya. Hermann Hankel, ahli matematika Jerman terkenal membuat pernyataan berikut tentang Diophantus.

“Penulis kami (Diophantos) tidak sedikitpun jejak dari metode umum, komprehensif yang dapat dilihat; setiap masalah memerlukan beberapa metode khusus yang menolak untuk bekerja bahkan untuk masalah yang paling terkait sekalipun. Untuk alasan ini sulit bagi sarjana modern untuk memecahkan masalah ke-101 bahkan setelah mempelajari 100 solusi Diophantos ”. 

Saat ini, analisis Diophantine adalah bidang studi di mana solusi bilangan bulat (bilangan bulat) dicari untuk persamaan, dan persamaan Diophantine adalah persamaan polinomial dengan koefisien bilangan bulat yang hanya mencari solusi bilangan bulat. Biasanya agak sulit untuk mengatakan apakah persamaan Diophantine yang diberikan dapat dipecahkan. Sebagian besar masalah di Arithmetica mengarah ke persamaan kuadrat. Diophantus mengamati 3 jenis persamaan kuadrat: ax^2 + bx = c, ax^2= bx + c, dan ax^2 + c = bx. Alasan mengapa ada tiga kasus untuk Diophantus, sementara hari ini kami hanya memiliki satu kasus, adalah bahwa ia tidak memiliki gagasan untuk nol dan ia menghindari koefisien negatif dengan mempertimbangkan angka yang diberikan a, b, c untuk semuanya menjadi positif di masing-masing tiga kasus di atas. Diophantus selalu puas dengan solusi rasional dan tidak memerlukan bilangan bulat yang berarti ia menerima pecahan sebagai solusi untuk masalahnya. Diophantus menganggap solusi akar kuadrat negatif atau irasional "tidak berguna", "tidak berarti", dan bahkan "tidak masuk akal". Untuk memberikan satu contoh spesifik, ia menyebut persamaan 4 = 4x + 20 'absurd' karena akan menghasilkan nilai negatif untuk x. Satu solusi adalah semua yang dia cari dalam persamaan kuadrat. Tidak ada bukti yang menunjukkan Diophantus bahkan menyadari bahwa mungkin ada dua solusi untuk persamaan kuadratik. Dia juga menganggap persamaan kuadrat simultan.

Diophantus membuat kemajuan penting dalam notasi matematika, menjadi orang pertama yang diketahui menggunakan notasi aljabar dan simbolisme. Sebelum dia, semua orang menulis persamaan sepenuhnya. Diophantus memperkenalkan simbolisme aljabar yang menggunakan notasi ringkas untuk operasi yang sering terjadi, dan singkatan untuk yang tidak diketahui dan untuk kekuatan yang tidak diketahui. Ahli sejarah matematika Kurt Vogel menyatakan:
    "Simbolisme yang diperkenalkan oleh Diophantus untuk pertama kalinya, dan tidak diragukan lagi dirancang sendiri, menyediakan cara singkat dan mudah dipahami untuk mengekspresikan persamaan ... Karena singkatan juga digunakan untuk kata 'sama dengan', Diophantus mengambil langkah mendasar dari verbal aljabar menuju aljabar simbolik. "

Meskipun Diophantus membuat kemajuan penting dalam simbolisme, ia masih kekurangan notasi yang diperlukan untuk mengekspresikan metode yang lebih umum. Ini menyebabkan karyanya lebih mementingkan masalah tertentu daripada situasi umum. Beberapa batasan dari notasi Diophantus adalah bahwa ia hanya memiliki notasi untuk satu yang tidak diketahui dan, ketika masalah melibatkan lebih dari satu yang tidak diketahui, Diophantus dikurangi untuk mengekspresikan "tidak dikenal pertama", "tidak diketahui kedua", dll. Dengan kata-kata. Dia juga tidak memiliki simbol untuk bilangan umum n. Di mana kita akan menulis 12 + 6n / n^2 - 3, Diophantus harus menggunakan konstruksi seperti: "... angka enam kali lipat meningkat dua belas, yang dibagi dengan perbedaan dengan mana kuadrat angka melebihi tiga".

Aljabar masih memiliki jalan panjang sebelum masalah yang sangat umum dapat ditulis dan diselesaikan dengan ringkas.

Contoh Persamaan Diophantine yang paling klasik adalah persamaan ax + by = c, dengan a, b, dan c .

Diketahui, misalnya 15x + 11y = 12. Bagaimana mencari solusi persamaan ini?

Karena 15 dan 11 relatif prima (faktor persekutuan terbesarnya sama dengan 1), kita dapat menemukan bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga 15x + 11y = 1 dengan menggunakan Algoritma Euclid:

15 = 1(11) + 4

11 = 2(4) + 3

4 = 1(3) + 1

3 = 3(1) + 0.

Bila kita telusuri dari persamaan kedua terakhir, kita peroleh:

1 = 4 – 1(3)

= 4 – 1[11 – 2(4)] = 3(4) – 1(11)

= 3[15 – 1(11)] – 1(11) = 3(15) – 4(11).

Dengan demikian kita dapatkan solusi persamaan 15x + 11y = 1, yaitu x = 3 dan y = -4. 

Solusi umum dari persamaan 15x + 11y = 1 adalah x = 3 – 11k dan y = -4 + 15k, dengan k bilangan bulat.)

Selanjutnya, solusi dari persamaan 15x + 11y = 12 dapat diperoleh dengan mengalikan solusi dari persamaan 15x + 11y = 1 dengan 12. 

Jadi, solusi yang kita cari adalah x = 36 dan y = -48. 

Solusi umumnya adalah x = 36 – 11k dan y = -48 + 15k.

Demikian dulu diskusi kita tentang Persamaan Diophantine oleh Diophantus seorang ahli Matematika dari Alexandria. Semoga bermanfaat.