Materi,Contoh Soal dan Pembahasan tentang Faktorial + Soal-soal PTN

Salam Para Bintang

Kali ini kita akan membahas materi tentang Peluang,materi ini sangat menjadi fondasi dalam mempelajari Peluang. Materi yang mau dibahas adalah tentang faktorial. Semoga nantinya bisa dipahami.

BILANGAN FAKTORIAL

Dalam mempelajari kaidah pencacahan dan peluang suatu kejadian nantinya, sangat perlu dipahami konsep dasar Faktorial. Faktorial yang dinotasikan dengan tanda seru (!) kita nyatakan dalam n!. Faktorial dari bilangan bulat positif dari $n$ yang dilambangkan dengan $n!$ , adalah produk dari semua bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan $n$ :

$n!=n\, \, x\, \, (n-1)\, \, x\, \, (n-2)\, \, x\, \, (n-3)\, \, x.....x\, 1$

Ingat:

n = bilangan cacah (0,1,2,,,,,,,,,dst)

0 ! = 1

Contoh 1:

Hasil dari :

a. 5 !

b. 6 !

Pembahasan:

a. 5 ! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

b. 6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Contoh 2:

Hasil dari :

a. 4 ! + 3 !

b. 4 ! x 3 !

c. $\frac{10\, !}{8\, !}$

Pembahasan :

a. 4 ! + 3 ! = 4 x 3 x 2 x 1 + 3 x 2 x 1 = 24 + 6 = 30

b. 4 ! x 3 ! = 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 = 24 x 6 = 144

c. $\frac{10\, !}{8\, !}=\frac{10\, x\, 9\, x\, 8\, x\, 7\, x\, 6\, x\, 5\, x\, 4\, x\, 3\, x\, 2\, x\, 1}{8\, x\, 7\, x\, 6\, x\, 5\, x\, 4\, x\, 3\, x\, 2\, x\, 1}=90$

Dalam faktorial dapat juga menggunakan rumus berikut untuk n ! yaitu sebagai berikut:

$n\, !=n\, x\, (n-1)!$

$n\, !=n\, x\, (n-1)\, x\, (n-2)!$

$n\, !=n\, x\, (n-1)\, x\, (n-2)\, x\, (n-3)!$

Contoh 3:

Selesaikanlah bentuk faktorial berikut :

$a. \frac{10!}{9!}$

$b. \frac{20!}{18!}$

$c. \frac{10!}{9!+8!}$

$d. \frac{12!}{13!+14!}$

Pembahasan:

$a. \frac{10!}{9!}=\frac{10\, x\, 9!}{9!}=10$

$b. \frac{20!}{18!}=\frac{20\, x\, 19\, x\, 18!}{18!}=20\, x\, 19=380$

$c. \frac{10!}{9!+8!}=\frac{10\, x\, 9\, x\, 8!}{9\, x\, 8!+8!}=\frac{90\, x\, 8!}{10\, x\, 8!}=9$

$d. \frac{12!}{13!+14!}=\frac{12!}{13\, x\, 12!+14\, x\, 13\, x\, 12!}=\frac{12!}{12!(13+14\, x\, 13)}=\frac{1}{195}$

Contoh 5:

Jika p adalah bilangan asli maka, $\frac{p!}{(p-2)!}=20$ . Nilai p adalah.....

Pembahasan:

$\frac{p(p-1)(p-2)!}{(p-2)!}=20$

$p(p-1)=20$

$p^{2}-p-20=0$

$(p-5)(p+4)=0$

$p=5\, \, \, \, p=-4$

Jadi, p yang merupakan bilangan asli adalah 5

Contoh 6:

Diberikan m adalah bilangan asli sehingga $\frac{(m+1)!}{(m-2)!}=\frac{m!}{(m-4)!}$ . Nilai m yang memenuhi adalah...

Pembahasan:

$\frac{(m+1)(m)(m-1)(m-2)!}{(m-2)!}=\frac{(m)(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)!}{(m-4)!}$

$(m+1)(m)(m-1)=(m)(m-1)(m-2)(m-3)$

$(m+1)=(m-2)(m-3)$

$m+1=m^{2}-5m+6$

$m^{2}-6m+5=0$

$(m-1)(m-5)=0$

$m=1\, \, \, m=5$

Jadi, nilai m bilangan asli yang memenuhi adalah 5

Contoh 7:

Nilai n yang memenuhi $\frac{(n-1)!}{(n-3)!}=12$ adalah....

Pembahasan:

$\frac{(n-1)!}{(n-3)!}=12$

$\frac{(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!}=12$

$(n-1)(n-2)=12$

$n^{2}-3n+2-12=0$

$n^{2}-3n-10=0$

$(n-5)(n+2)=0$

$n=5\, \, \, \, n=-2$

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 5

Contoh 8:

Nilai dari $\frac{100 !\, x\, 2}{99!}$ adalah....

Pembahasan:

$\frac{100!\, x\, 2}{99!}=\frac{100\, x\, 99!\, x\, 2}{99!}=100\, x\, 2=200$

Contoh 9:

Nilai dari $\frac{32^{9!}}{8^{8!}}\div \left ( 16^{9!} .64^{8!}\right )$ adalah...........

Pembahasan:

$\frac{32^{9!}}{8^{8!}}\div \left ( 16^{9!} .64^{8!}\right )$ $=\frac{\left ( 2^{5} \right )^{9!}}{\left ( 2^{3} \right )^{8!}}\div \left ( \left ( 2^{4} \right )^{9!}.\left ( 2^{6} \right )^{8!}\right )$