Materi Super Lengkap Matriks beserta Contoh Soal (UTBK SBMPTN, SIMAK UI,UGM)

Salam Para Bintang

Sampai jumpa kembali di blog ruang para bintang. Kali ini kita coba berbagi materi matematika yang sangat penting kalian kuasai mulai dari kelas XI SMA hingga ke jenjang perguruan Tinggi. Materi ini adalah materi yang kata banyak siswa materi matematika yang sangat mudah dipahami oleh siswa/i. Bagaimana sebenarnya materinya, kita langsung membahas materinya dulu baru ke sloalnya ya. Ok siap.

A. Defenisi,Ordo,Transpose dan Kesamaan Matriks

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut baris dan kolom, dimana susunan bilangan itu berbentuk persegi panjang atau bujur sangkar dan diletakkan pada suatu kurung biasa atau kurung siku-siku. Suatu matriks dilambangkan dengan huruf besar,

Contoh:

1. Ordo Matriks

Jika suatu matriks terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks tersebut dikatakan berordo m x n.

m = banyak baris n = banyak kolom

Dimana a_mnadalah elemen matriks pada baris ke m dan kolom ke n.

Misalnya :

Maka matriks A dan B berordo 2 x 3 dan matriks C berordo 3 x 2. Hal ini dapat dituliskan dalam bentuk : A_{2 x 3} , B_{3 x 2}

2. Matriks Sama

Dua buah matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan unsur-unsur yang bersesuaian (seletak) juga sama, misalnya :

Bila matriks A = ,matriks B maka:

a = e, b = f, c = g, dan d = h

Contoh 1 :

Diketahui :

Tentukan x, y, z jika A = B

Penyelesaian :

maka diperoleh:

Karena x + 1 = 3 , maka x = 2
Karena 2x – 1 = y + 1, maka y = 2
Karena y = z – 2, dan y = 2, maka diperoleh z = 4

3. Transpose Matriks

Transpose matriks A dinyatakan dengan A' atau A^t. Baris pada matriks A menjadi kolom pada A^t atau kolom pada matriks A menjadi baris pada A^t. Jika matriks A = A^t, maka matriks itu disebut sebagai matriks simetris.

Misalnya:

$A=\begin{pmatrix} 5 & 6\\ -1& 3\\ 10& -4 \end{pmatrix}$
maka:

$A^{T}=\begin{pmatrix} 5 & -1 & 10\\ 6& 3 & -4 \end{pmatrix}$

Jika matriks A_{m x n} maka matriks A transpos : A_{n x m}

Baca Juga:

B. Operasi Pada Matriks

Operasi Pada matriks terdiri atas penjumlahan, pengurangan dan perkalian matriks. Dalam operasi matriks tidak ada pembagian matriks.

1. Penjumlahan
Matriks-matriks yang dapat dijumlahkan hanya matriks-matriks yang mempunyai ordo yang sama.

Contoh 2:

$A=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -4& 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}\, \, dan\, \, B\: =\begin{pmatrix} 4 & 0\\ -1 &3 \\ -5&-1 \end{pmatrix}, maka\, \, A+B=....$

Penyelesaian:

$A+B=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -4& 2\\ 3 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 0\\ -1 &3 \\ -5&-1 \end{pmatrix}$
$A+B=\begin{pmatrix} 2+4 & -1+0\\ -4+(-1)&2+3 \\ 3+(-5) & 1+(-1) \end{pmatrix}$
$A+B=\begin{pmatrix} 6 & -1\\ -5& 5\\ -2& 0 \end{pmatrix}$

2. Pengurangan

Pengurangan matriks A dengan B dilakukan dengan menjumlahkan A dengan negatif B.

A – B = A + (-B)

Contoh 3:

$Jika \, \, diketahui\, \, A=\begin{pmatrix} 1 & -2& 5& 4\\ 3& -2 & 1 & -6 \end{pmatrix}\, \, dan\, \, B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & -5\\ -5 & -4& 1& 0 \end{pmatrix}, maka\, \, A-B=.....$

Penyelesaian:

$A-B=\begin{pmatrix} 1& -2& 5 & 4\\ 3& -2 & 1 & -6 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2& -5\\ -5 &-4 &1 &0 \end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix} 0 & -4& 7 &9 \\ 8& 2& 0 & -6 \end{pmatrix}$

3. Perkalian Matriks

Perkalian matriks terdiri atas 2 yaitu :

a. Perkalian bilangan rill dengan matriks

Untuk mengalikan matriks A dengan bilangan riel k, maka setiap elemen matriks A dikali dengan k = (kA).

Contoh 4:

$Diketahui\, matriks\, A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -1& -4 \end{pmatrix}, maka\, 2A=.....$
Penyelesaian:

$2A=2\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -1& -4 \end{pmatrix}$
$2A=\begin{pmatrix} 2 & 6\\ -2&-8 \end{pmatrix}$

b. Perkalian matriks dengan matriks

Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

A_{m x n} dan B_{p x q}maka A_{m x n} x B_{p x q} = C_{m x q}

di mana : n = p

Contoh 5:

$Diketahui\, A=\begin{pmatrix} 2 & 6\\ -2&-8 \end{pmatrix}\, dan\, B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 3& 2 &-3 \end{pmatrix}, maka\, AB=....$

Penyelesaian:

$AB=\begin{pmatrix} 2 & 6\\ -2&-8 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 3& 2 &-3 \end{pmatrix}$

$AB=\begin{pmatrix} 2.1+6.3 & 2.0+6.2 & 2.1+6.(-3)\\ -2.1+(-8).3& -2.0+(-8).2 & -2.1+-8.(-3) \end{pmatrix}$

$AB=\begin{pmatrix} 20 & 12 & -16\\ -26 & -16 &22 \end{pmatrix}$

Sifat-Sifat Perkalian Matriks :

a. A.I = A

b. A² = A . A

c. A³ = A . A . A ® dan seterusnya

d. A . B ¹ B . A

e. Jika (A . B) = C

Maka : D . (A . B) = D . C

(A . B) . D = C . D

f. A(B + C) = AB + AC

g. (B + C)A = BA + CA

Baca Juga:

D. Derminan Matriks

Suatu matriks dikatakan memiliki determinan apabila matriks tersebut adalah matriks persegi (bujur sangkar). Determinan matriks ditulis dengan :

$Det(A)=\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

1. Determinan Matriks berordo 2 x 2

Untuk matriks berordo 2 x 2 , jika diketahui matriks:

$A=\begin{pmatrix} p & q\\ r & s \end{pmatrix},maka\, Det(A)=p.s-q.r$

2. Determinan Matriks berordo 3 x 3

Untuk matriks berordo 3 x 3 , jika diketahui matriks:

$A=\begin{pmatrix} a &b &c \\ d& e & f\\ g &h & i \end{pmatrix},maka\, Det(A) \, dapat\, diperoleh \, dengan \, cara:$

Menggunakan Aturan Sarrus:

$Det(A)=\begin{vmatrix} a & b & c\\ d&e &f \\ g&h &i \end{vmatrix}\begin{vmatrix} a &b \\ d& e \\ g&h \end{vmatrix}=aei+bfg+cdh-(bdi+afh+ceg)$

Contoh 6:

$Jika\, diketahui\, matriks\, A=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 1& 5 \end{pmatrix},maka\, determinan\, A\, adalah....$

Penyelesaian:

$Det(A)=3.5-(-2).1=15+2=17$

Contoh 7: $Jika \, diketahui\, matriks\, A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 2& -3 &1 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix}, maka \, determinan\, matriks \, A\, adalah....$