Materi, Contoh Soal dan Pembahasan Kaidah Pencacahan: Aturan Penjumlahan dan Aturan Perkalian

Salam Para Bintang

Kali ini kita akan membahas materi tentang Kaidah Pencacahan. Kaidah Pencacahan ini adalah salah satu materi yang sering keluar di Ujian Nasional, UTBK SBMPTN dan ujian masuk PTN lainnya. Kaidah Pecacahan di sini adalah aturan penjumlahan dan aturan Perkalian. Untuk itu, sangat perlu dipahami bagaimana materi ini bermanfaat bagi kita ke depannya. Langsung saja kita bahas materinya secara lengkap ya.

Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan (counting rules) merupakan sebuah cara atau aturan untuk menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Terdapat beberapa metode dalam kaidah pencacahan, diantaranya:

1. Aturan Penjumlahan

Dalam kaidah pencacahan ada konsep yang perlu dipahami yaitu aturan penjumlahan. Dalam aturan penjumlahan dijelaskan bahwa jika terdapat n peristiwa yang saling lepas, yaitu:

k1 = banyak cara pada peristiwa pertama

k2 = banyak cara pada peristiwa kedua

k3 = banyak cara pada peristiwa ketiga

kn = banyak cara pada peristiwa ke-n

maka banyaknya cara untuk n buah peristiwa adalah:

$BC=k_1+k_2+k_{3}+.......+k_{n}$

Biasanya aturan penjumlahan ini digunakan untuk beberapa kejadian yang tidak bersamaan terjadi (kata kunci di soal biasanya atau)

Contoh 1:

Nining akan membeli sebuah mobil di sebuah showroom yang menyediakan 6 jenis mobil sport dan 4 jenis mobil mini bus. Banyak pilihan Nining untuk membeli mobil adalah.....

Pembahasan:

Banyak Pilihan Nining membeli mobil adalah = 6 + 4 = 10 pilihan

Contoh 2:

Di rumah Kevin terdapat 5 jenis sepeda berbeda, 3 jenis sepeda motor berbeda dan 4 jenis mobil berbeda. Jika Kevin ingin bepergian, ada berapa cara Kevin menggunakan kendaraan yang ada di rumahnya?

Pembahasan:

Banyak Cara Kevin menggunakan kendaraan di rumahnya adalah = 5 + 3 + 4 = 12 cara

2. Aturan Perkalian (Pengisian Tempat tersedia)

Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat $a_1$ cara yang berbeda, tahap kedua terdapat $a_2$ cara yang berbeda, dan seterusnya sampai dengan tahap ke- $n$ yang dapat terjadi dalam $a_n$ cara yang berbeda, maka total banyaknya cara yang dapat terjadi dari peristiwa tersebut adalah:

$BC=a_{1}\, x\, a_{2}\, x\, a_{3}\, x...x\, a_{n}$

Aturan Perkalian biasanya digunakan untuk beberapa kejadian yang semuanya dan biasanya menggunakan kata "dan"

Aturan pengisian tempat yang tersedia, dibagi menjadi tiga cara, yakni :

(1) Aturan Tabel
(2) Aturan Diagram Cabang
(3) Aturan Perkalian Terurut

Contoh 3:

Pada hari senin, Yeni hendak sekolah dan ingin menggunakan sepatu dan kaus kaki. Yeni mempunyai empat pasang sepatu dan lima pasang kaus kaki. Dengan aturan tabel tentukanlah banyaknya cara Yeni dalam mengenakan sepatu dan kaus kaki?

Pembahasan:

Misalkan sepatu adalah S dan kaus kaki adalah K dimana sepatu ada 4 pasang yaitu S1,S2,S3,S4 dan kaus kaki ada 5 pasang yaitu K1,K2,K3,K4,K5. Banyaknya cara Yeni mengenakan sepatu dan kaus kaki bisa di lihat dalam tabel ini !

Dari tabel dapat kita peroleh banyak cara yang dapat dipilih oleh Yeni dalam mengenakan sepatu dan kaus kaki adalah 20 cara.

Contoh 4:

Ari, Beni dan Coki adalah calon ketua OSIS di suatu SMA Brigjend Katamso 1 Medan, sedangkan Togap, Rio, David dan Edi adalah calon wakil ketua, serta Calista dan Dila adalah calon sekretaris. Dengan menggunakan diagram cabang tentukanlah banyaknya kemungkinan pasangan pengurus inti OSIS di SMA Brigjend Katamso 1 Medan tersebut

Pembahasan:

Berikut diagram pohonnya:

Dari diagram pohon diatas, diperoleh banyaknya cara pasangan pengurus OSIS yang mungkin adalah 24 cara

Contoh 5:

Terdapat empat jalan yang menghubungkan kota A dan kota B, tiga jalan yang menghubungkan kota B dan kota C serta tiga jalan dari kota C ke kota D. Tentukanlah banyaknya rute perjalanan seseorang dari koa A ke kota D

Pembahasan:

Rute dari A ke B = 4 jalan

Rute dari B ke C = 3 jalan

Rute dari C ke D = 3 jalan

Sehingga diperoleh banyaknya rute perjalanan dari kota A ke kota D adalah:

Banyak Rute = 4 x 3 x 3 = 24 rute

Contoh 6:

Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas emapat angka yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 jika :
(a) angka-angkanya tidak boleh muncul berulang
(b) angka-angkanya boleh muncul berulang

Pembahasan:

a. Disusun 4 angka, tidak boleh berulang

Banyak bilangan = 5 x 4 x 3 x 2 = 120 bilangan

b. Disusun 4 angka, boleh beruang

Banyak bilangan = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 bilangan

Contoh 7:

Tentukanlah banyaknya bilangan yang terdiri atas empat angka berlainan yang dapat disusun dari angka-angka 2, 3, 4, 5 dan 6 jika bilangan itu nilainya harus:
(a) genap
(b) ganjil

Pembahasan:

a. Disusun 4 angka berlainan, bilangan genap

Bilangan genap dapat diketahui jika angka terakhir adalah digit genap yaitu 2 , 4 dan 6 sehingga:

Banyak bilangan = 2 x 3 x 4 x 3= 72 bilangan

b. Disusun 4 angka berlainan, bilangan ganjil

Bilangan ganjil dapat diketahui jika angka terakhir adalah digit ganjil yaitu 1 dan 3 sehingga:

Banyak bilangan = 2 x 3 x 4 x 2 = 48 bilangan

Contoh 8:

Tentukan banyaknya bilangan ribuan berlainan yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 jika bilangan itu nilainya :
(a) lebih dari 2000
(b) kurang dari 3000

Pembahasan:

a. Banyak bilangan ribuan berlainan dari angka 1,2,3,4 dan 5 lebih dari 2000 adalah:

Banyak Bilangan = 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan

b. Banyak bilangan ribuan berlainan dari angka 1,2,3,4 dan 5 lebih dari 3000 adalah:

Banyak Bilangan = 2 x 4 x 3 x 2 = 48 bilangan

Contoh 9:

Banyak macam bilangan ganjil yang terdiri atas 3 angka berlainan yang dapat dibentuk dari angka 1,2,3,4,5 dan 6 adalah.....

Pembahasan:

Banyak bilangan ganjil = 4 x 5 x 3 = 60

Contoh 10:

Banyak bilangan kelipatan 5 yang terdiri dari 3 angka berbeda yang dapat disusun dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, adalah...

Pembahasan:

Banyaknya bilangan kelipatan 5 adalah 5 x 6 x 2 = 60

Tetapi ada bilangan dimana angka 0 kita ikutkan pada angka pertama, sehingga harus kita cari berapa banyak bilangan yang genap dengan angka 0 di depan (slot 1) yaitu sebanyak 1 x 5 x 1 = 5

Maka total bilangan 3 angka berlainan dari angka 0,1,2,3,4,5,6 adalah 55 bilangan

Baca Juga: