Materi, Soal dan Pembahasan Materi Kaidah Pencacahan: Permutasi

Salam Para Bintang

Kali ini kita akan membahas materi tentang Kaidah Pencacahan. Kaidah Pencacahan ini adalah salah satu materi yang sering keluar di Ujian Nasional, UTBK SBMPTN dan ujian masuk PTN lainnya. Kaidah Pencaahan berikutnya yang hendak kita bahas adalah Pemutasi. Untuk itu, sangat perlu dipahami bagaimana materi ini bermanfaat bagi kita ke depannya. Langsung saja kita bahas materinya secara lengkap ya.

PERMUTASI

Permutasi adalah penyusunan atau pengaturan sebagian atau seluruh objek yang diambil dari sekumpulan objek yang tersedia dengan memperhatikan urutan objek.

Ciri-ciri Permutasi adalah $AB\neq BA$ atau dengan kata lain AB dianggap berbeda BA.

Permutasi memiliki 3 jenis yaitu:

1. Permutasi dengan Objek Yang Berbeda

Banyak permutasi k objek yang diambil dari n objek adalah:

$_n{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}$

Contoh 1:

Dalam suatu organisasi akan dipilih ketua dan wakil ketua dari 8 calon yang memenuhi kriteria.Banyak susunan kepengurusan yang mungkin dari 8calon tersebut adalah....

Pembahasan:

$_8{P}_2=\frac{8!}{(8-2)!}=\frac{8.7.6!}{6!}=\frac{8\, .\, 7.6!}{6!}=56$

Contoh 2:

Perusahaan pengalengan sedang membutuhkan 4 karyawan baru untuk mengisi posisi berbeda yang kosong. Namun, calon yang tersedia sebanyak 9. Tentukan berapa banyak susunan karyawan yang mungkin dilakukan.

Pembahasan:

$_9{P}_4=\frac{9!}{(9-4)!}=\frac{9.8.7.6.5!}{5!}={9.8.7.6}=3024$

Contoh 3:

Seorang ilmuwan ingin menyusun kata dari 8 huruf. Tentukan berapa banyak susunan 5 huruf yang bisa dibuat oleh ilmuwan tersebut!

Pembahasan:

$_8{P}_5=\frac{8!}{(8-5)!}=\frac{8.7.6.5.4.3!}{3!}={8.7.6.5.4}=6720$

Contoh 4:

Terdapat 8 orang yang sedang bermain bersama. Dalam permainan tersebut, disediakan 4 kursi kosong dan 1 kursi telah terisi. Berapakah banyak susunan yang bisa di buat dari sisi anak yang belum duduk?

Pembahasan

$_7{P}_3=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7.6.5.4!}{4!}={7.6.5}=210$

2. Permutasi dengan Objek Yang Sama

Banyaknya permutasi m objek dimana terdapat k objek jenis I, l objek jenis II, n objek jenis III, dst...adalah:

$_m{P}_(k.l.n....)=\frac{m!}{k!.l!.n....}$

Contoh 5:

Banyaknya susunan huruf yang disusun dari kata"SAMASAJA" adalah.....

Pembahasan:

Terdapat 8 huruf dengan huruf S sebanyak 2 dan huruf A sebanyak 4, sehingga banyak susunan huruf yang mungkin adalah:

$_8{P}_(2.4)=\frac{8!}{2!.4!}$

$_8{P}_(2.4)=\frac{8.7.6.5.4!}{2.1.4!}$

$_8{P}_(2.4)=840$

Contoh 6:

Jika 2 balon merah sejenis, 3 balon kuning sejenis dan 4 balon hijau sejenis disusun secara teratur dalam satu baris, maka banyak susunannya adalah...

Pembahasan:

Banyak susunan adalah :

$_9{P}_(2.3.4)=\frac{9!}{2!.3!.4!}$

$_9{P}_(2.3.4)=\frac{9.8.7.6.5.4!}{2.1.3.2.1.4!}$

$_9{P}_(2.3.4)=9.4.7$

$_9{P}_(2.3.4)=252$

3. Permutasi Siklis

Permutasi Siklis adalah penyusunan objek dalam bentuk lingkaran. Banyaknya permutasi siklis adalah:

$P_{s}=(n-1)!$

Contoh 7:

Mala mempunyai 6 buah pernik yang berbeda warna, aka disusun padaa sebuah gelang. Banyaknya cara Mala menyusun pernik untuk menjadi gelang adalah..

Pembahasan:

Banyak cara Mala menyusun pernik adalah (6-1)! = 5 ! = 120 cara

Contoh 8:

Dari 5 orang anggota keluarga akan segera duduk mengelilingi satu meja bundar, banyaknya cara penyusunan yang bisa dibikin dari 5 orang tersebut yaitu…

Pembahasan:

Banyak orang (n) = 5, sehingga: Psiklis = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 cara.

Contoh 9:

Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:

a. mereka berpindah-pindah tempat;

b. ayah dan ibu selalu berdekatan?

Pembahasan:

a. Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah

Banyak cara = (5 – 1)! = 4! = 24 cara.

b. Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah:

Banyak Cara = (4 – 1)! × 2P2 = 3! × 2! = 12 cara.

4. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

Permutasi berulang dai n unsur, dapat ditentukan dengan rumus:

$P_{n}=n^{k}$